凝聚態物理攻頂計畫

第 2 版或第 3 版均可。這是量子力學入門的黃金標準教材，講解清晰、習題豐富。

1. 諧振子升降算符：$a_\pm = \frac{1}{\sqrt{2m\hbar\omega}}(\mp i p + m\omega x)$，$[a_-, a_+] = 1$
2. 能量本徵值：$E_n = \hbar\omega(n + 1/2)$
3. Pauli 矩陣：$\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ 及其對易關係
4. 一階能量修正：$E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | H' | \psi_n^{(0)} \rangle$
5. 一階態修正：$\psi_n^{(1)} = \sum_{m \neq n} \frac{\langle \psi_m^{(0)} | H' | \psi_n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \psi_m^{(0)}$

練習 1：無限深井本徵函數的正交性驗證

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

a = 1.0
N = 1000
x = np.linspace(0, a, N)

def psi_n(n, x, a):
    return np.sqrt(2/a) * np.sin(n * np.pi * x / a)

# 繪製前 3 個本徵函數
for n in range(1, 4):
    plt.plot(x, psi_n(n, x, a), label=f'n={n}')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('ψ_n(x)')
plt.legend()
plt.title('Infinite Square Well Eigenfunctions')
plt.show()

# 數值驗證正交歸一性
for n in range(1, 4):
    for m in range(1, 4):
        overlap = np.trapz(psi_n(n, x, a) * psi_n(m, x, a), x)
        print(f'⟨{n}|{m}⟩ ≈ {overlap:.4f}')

練習 2：諧振子本徵函數與不確定性驗證

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import hermite

hbar = 1.0
m = 1.0
omega = 1.0
alpha = m * omega / hbar

x = np.linspace(-5, 5, 1000)

def psi_ho(n, x):
    Hn = hermite(n)
    norm = (alpha / np.pi)**(1/4) / np.sqrt(2**n * np.math.factorial(n))
    return norm * Hn(np.sqrt(alpha) * x) * np.exp(-alpha * x**2 / 2)

# 繪製前 4 個本徵函數
for n in range(4):
    plt.plot(x, psi_ho(n, x), label=f'n={n}')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('ψ_n(x)')
plt.legend()
plt.title('Quantum Harmonic Oscillator')
plt.show()

# 驗證基態的不確定性原理
psi0 = psi_ho(0, x)
dx = x[1] - x[0]

norm = np.trapz(psi0**2, x)
mean_x2 = np.trapz(x**2 * psi0**2, x) / norm
dpsi = np.gradient(psi0, x)
mean_p2 = -hbar**2 * np.trapz(psi0 * np.gradient(dpsi, x), x) / norm

print(f'σ_x * σ_p = {np.sqrt(mean_x2 * mean_p2):.4f}')
print(f'Expected: {hbar/2:.4f}')

Q1: 我已經懂量子力學了，能不能跳過 Month 1？

不要跳。即使本科學過，你可能已經很久沒有用 Dirac notation 做正式推導了。Month 1 的目標不是「學新知識」，而是「恢復肌肉記憶」。如果你能在 2 週內完成所有檢核點，可以加速進入 Month 2。

Q2: 推導時卡住怎麼辦？

先寫下你卡住的具體步驟，回頭看書中對應的類似推導。如果 30 分鐘內解不開，標記下來繼續往前。很多時候後面的內容會讓你恍然大悟。也可以隨時帶著具體問題來問我。

Q3: 要不要做書上所有的習題？

不需要。每章挑 3-5 道「核心習題」即可。本計畫中的自測題就是經過篩選的核心題目。時間應該花在「推導書中的關鍵公式」而不是「刷題」。

Q4: 20 個月後真能拿諾貝爾獎嗎？

20 個月後你會達到「能讀懂前沿論文」的水平，但從「能讀懂」到「能發表原創論文」通常還需要 2-4 年在研究組裡的實戰訓練。諾貝爾獎需要運氣、時機、和突破性的原創貢獻——這無法保證，但這條路會讓你站在正確的起跑線上。